Random Walk (o no tan walk)

Hace un tiempo estaba pensando en alguna forma de tener un proceso que genere Hysteresis o algun tipo de proceso stochastico (aleatorio y con una relacion temporal), y se me ocurrio este proceso
primero definimos un proceso x(t) = N(0, b * e ^ (a * sin(y(t-1)))) donde a y b son parametros, y N es la distribucion Normal o gaussiana.
y(t) = y(t-1) + x(t) (y(t) = 0 para t <= 0, no jodan)

Bueno, el asunto es que me encontre en que este proceso (el y(t) tiene un comportamiento bastante diferente dependiendo del parametro a (es decir, me encontre con una familia de procesos)
veamos un par de dibujitos.

El primer dibujo no parece nada raro, un poco distinto a una caminata medio borracha.
Ahora, este segundo dibujo, cambiando solamente el parametro a para que valga 2, ya muestra una estructura interesante


Ahora, si en vez de 2, usamos como parametro 3, obtenemos el siguiente grafico:
La structura es completamente distinta. La pregunta seria: "que es lo que esta pasando?"
Bueno, podemos empezar pensando como es un random walk, aca, el "caminante" decide si va a ir para arriba o para abajo usando una funcion de distribucion normal, con media 0, y varianza constante. Aca aparece la primer diferencia.

En este proceso, la varianza no es constante, podriamos decir que la varianza es el parametro b (que por cierto, me olvide comentar, yo uso b = pi/2 por que parece cheto). Esta varianza b, esta expandida o contraida dependiendo del resultado de a * sin (y), es decir, hay partes del camino (es claro que depende del lugar donde se esta, pero no de como se llego ahi), en que sin(y) es un numero negativo, y multiplicado por a, es mas negativo (cuando a es mas grande). Luego, cuando usamos ese valor como exponente, se produce una contraccion de la varianza (los valores van a estar cada vez mas proximos). El caso contrario es cuando el sin(y) > 0, ya que produce un exponente positivo, y eso expande la varianza (y los valores empiezan a saltar).
Una forma de pensar esto, es como navegar (sin timon) por un rio, en las zonas tranquilas, nuestro barquito se va a mover aleatoriamente, pero los cambios van a estar proximos... sin embargo, cuando entramos a una zona de rapidos, el barquito empezara a cambiar de posicion de manera brusca, y saltara entre zonas, hasta volver a encontrar otra zona tranquila en doned se quedara... Por eso este proceso no es tan Walk aunque si bastante Random.
Existe una forma piola de poder graphicar la idea de las corrientes y este proceso, pero para eso tengo que terminar de averiguar como funciona el PlotMorph

saludos
/jb