La culpa no es de los floats

Sino, del que le da de comer.

Al final del ultimo post, comenté mi preocupación por la lenta convergencia, y culpe apresuradamente al uso de los objetos de tipo float. 
Haciendo cuentas noté que no había nada raro en la convergencia.

El estimador era:
$$\tilde{\pi} = 4 * \frac{\sum^n_{t=1}I(\text{punto i esta dentro de circulo})}{n}$$
Esto se puede reescribir de la siguiente forma:
$$\tilde{\pi} = 4 * \tilde{F}$$ , donde $$\tilde{F} = \frac{\sum^n_{t=1}I(\text{1 si punto i esta dentro de circulo})}{n}$$ Sabemos que $I(\text{1 si punto i esta dentro de circulo})$ es una variable aleatoria Bernoulli, entonces
$\tilde{F} = \frac{Y}{n}$ donde Y es una variable Binomial con parámetros $n$ y $p = \pi/4$.
$$E[\tilde{\pi}] = 4 * \frac{E[Y]}{n} = 4 * \frac{\pi}{4} * n * \frac{1}{n} = \pi$$

Ahora, la varianza es lo que nos interesa.
$$\begin{aligned}Var[Y] &= np(1-p)\\ Var[\tilde{F}] &= \frac{np(1-p)}{n^2} = \frac{p(1-p)}{n} = \frac{\tilde{F}(1-\tilde{F})}{n}\\ Var[\tilde{\pi}] &= 4^2Var[\tilde{F}] = 8\frac{\tilde{F}(1-\tilde{F})}{n} \end{aligned}$$

Ahora, quiero generar un intervalo de confianza del $95\%$ (usando la normal, porque $n$ es muy grande), y quiero que ese intervalo tenga un tamaño del orden de $10^{-4}$. Teniendo la formula de la varianza del estimador, podemos calcular el $n$ para esa precisión: $n = 1035989708.4897318$. Acá queda claro que floats no tenía nada que ver con la falta de precision. Fue solo una cuestión de ansiedad.
De hecho, si usamos $n=10^9$, luego de un tiempito, tenemos el siguiente resultado


$$\tilde\pi = 3.141564804\, (3.67207693157*10^{-5})$$
y con un $\alpha = 5\%$ podemos construir el intervalo: $[3.14149283129\; 3.14163677671]$