Mas on Random (no-tan) Walk

Siguiendo con el processo del articulo pasado, un amigo, felipe, me sugirio que trate de probar el mismo proceso, variando los parametros, pero usando siempre los mismos numeros aleatorios. La idea de la prueba esta es: Si con un parametro igual a 2, en un determinado momento t habia un movimiento hacia arriba, con parametro igual a 3, en el mismo momento, tendria que existir el mismo movimiento (en la misma direccion), pero con el cambio propio que le da el processo.
El cambio fue simple (que grande squeak), y en el momento del cambio, me di cuenta de algo interesante. Yo estaba usando variables aleatorias con distribuccion Normal, y lo unico que hacia era cambiar el desvio de las variables x(t) dependiendo de la variable y(t-1). Aca hay que recordar que si queremos cambiar el desvio podemos hacer lo siguiente: x(t) = sigma * N(0;1) (lo contrario seria normalizar la variable N(0;1) = x(t) / sigma). Bueno, entonces para hacer el cambio, lo unico que tenia que hacer era generar n variables N(0;1), y despues, para cada uno de los parametros, aplicaba el sigma. Mmmm, creo que esto no quedo claro, bueno, esto queda asi:

x(t) = b * e ^ (a * sin(y(t-1))) * N(0;1)

y(t) = x(t) + y(t-1)

Y esto me parecio bastante piola. Basicamente una cosa que se puede leer de estas ecuaciones, es que el siguiente movimiento va a ser una variable aleatoria, multiplicada por una constante asociada a cada valor y. Esto seria como si nos imaginaramos que hay un numero para cada recta paralela al eje donde graficamos el tiempo (el horizontal), entonces, por ejemplo, a la paralela correspondiente a: a = 2; y = 3 el numero asociado a esa recta es k =2.0830282438600087, esto quiere decir que si en el momento t-1, y era igual a 3, la variable aleatoria que salga sorteada, va a ser multiplicada k.

Esto me triggereo otro pensamiento. En los modelos donde se tiene algo asi como Y = aX donde X es una variable Normal con una media y una varianza, al buscar el parametro a, en realidad lo unico que se esta haciendo es buscar cuales son los parametros (media y varianza) de la variable Y, ya que Y se podria simular como una normal y = N(a*E(X);a*sqrt(Var(X))) donde sqrt(x) es la raiz cuadrada de x. Bueno, es otra forma de pensar lo mismo...
saludos
/jb

ps: dejo un par de imagenes usando el comentario de felipe, donde todas las imagenes se hicieron con las mismas 10000 N(0;1), pero con distinto parametro a

ps2: quedan pendientes los colorsitos
a=1
a=2
a=3
a=4